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基本介绍

格定义

格是 m 维欧式空间 R^m 的 n (m\geq n) 个线性无关向量b_i(1\leq i \leq n) 的所有整系数的线性组合,即 L(B)=\{\sum\limits_{i=1}^{n}x_ib_i:x_i \in Z,1\leq i \leq n\}

这里 B 就是 n 个向量的集合,我们称

  • 这 n 个向量是格 L 的一组基。
  • 格 L 的秩为 n。
  • 格 L 的位数为 m。

如果 m=n,那么我们称这个格式满秩的。

当然,也可以是其它群,不是 R^m

格中若干基本定义

successive minima

格是 m 维欧式空间 R^m 的秩为 n 的格,那么 L 的连续最小长度(successive minima)为 \lambda_1,...,\lambda_n \in R,满足对于任意的 1\leq i\leq n\lambda_i 是满足格中 i 个线性无关的向量v_i||v_j||\leq \lambda_i,1\leq j\leq i 的最小值。

自然的 \lambda_i \leq \lambda_j ,\forall i <j

格中计算困难性问题

最短向量问题(Shortest Vector Problem,SVP):给定格 L 及其基向量 B ,找到格 L 中的非零向量 v 使得对于格中的任意其它非零向量 u,||v|| \leq ||u||

\gamma-近似最短向量问题(SVP-\gamma):给定格 L,找到格 L 中的非零向量 v 使得对于格中的任意其它非零向量 u,||v|| \leq \gamma||u||

连续最小长度问题(Successive Minima Problem, SMP):给定秩为 n 的格 L,找到格 L 中 n 个线性无关向量 s_i,满足 \lambda_i(L)=||s_i||, 1\leq i \leq n

最短线性无关向量问题(Shortest Independent Vector Problem, SIVP):给定一个秩为 n 的格 L,找到格 L 中 n 个线性无关向量 s_i,满足||s_i|| \leq \lambda_n(L), 1\leq i \leq n

唯一最短向量问题(Unique Shortest Vector Problem, uSVP-\gamma):给定格 L,满足 $ \lambda_2(L) > \gamma \lambda_1(L)$,找到该格的最短向量。

最近向量问题(Closest Vector Problem,CVP):给定格 L和目标向量 t\in R^m,找到一个格中的非零向量 v,使得对于格中的任意非零向量 u,满足 ||v-t|| \leq ||u-t||

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